Retour d'un stage en entreprise (4)

Lina et Rayan travaillent sur la détection des défauts dans une usine qui produit des pièces pour moteurs. La situation est représentée par l'arbre des probabilités ci-dessous avec les significations suivantes :

• \(\text{B}\) : « la pièce est bonne » (et donc \(\overline{\text{B}}\) : « la pièce a un défaut ») ;
• \(\text{V}\) : « la pièce est validée » (et donc \(\overline{\text{V}}\) : « la pièce est rejetée »).

Rayan : Au final, ce qui intéresse l'entreprise est de connaître la probabilité qu'une pièce soit bonne sachant qu'elle a été validée, non ?

Lina : Oui, c'est plutôt cette probabilité qui doit être la plus grande possible ! C'est une probabilité conditionnelle.

Rayan : En première, on a déjà calculé des probabilités conditionnelles, mais c'était toujours avec des effectifs et pas avec d'autres probabilités... Je dis ça parce que j’aimerais le faire pour ton entreprise, mais j'aurais besoin de savoir combien de pièces sont produites... dans un tableau par exemple.

Lina : Tu voudrais utiliser la formule \(\boxed{P_\text{V}(\text{B})=\dfrac{\text{Card}(\text{V}\cap \text{B})}{\text{Card(V)}}}\) ?

Rayan : Oui, mais il me manque le nombre de pièces produites en tout pour retrouver les cardinaux de cette formule.

Lina : Tu voudrais le cardinal de l'univers... J'avoue, je ne l'ai pas... Mais, peut-être qu'on n'en a pas besoin, regarde : \(P_\text{V}(\text{B})=\dfrac{\dfrac{\text{Card}(\text{V}\cap \text{B})}{\text{Card}(\Omega)}}{\dfrac{\text{Card(V)}}{\text{Card}(\Omega)}}=\dfrac{P\text{(V}\cap \text{B})}{P\text{(V)}}\).

Rayan : Ah oui... quand même ! Tu es trop forte. Donc on peut utiliser les probabilités de l'arbre sans avoir besoin de repasser par un tableau. Et pour calculer le numérateur, on peut faire comme quand on faisait des exos avec les lancers de la pièce de monnaie... En considérant les bons chemins et en multipliant les probabilités des branches correspondantes, on calcule facilement les probabilités que les pièces soient validées selon les cas : \(P\text{(V} \cap \text{B)} = 0,95 \times 0,98 = 0,931\). Et pour le dénominateur ?

Lina : Peut-être qu'un autre schéma peut être utile, j'essaie :

Lina : Regarde par exemple l'événement « la pièce est validée » noté \(\text{V}\). Il est décomposé en deux sous-événements, qui sont « la pièce est validée et bonne », noté \(\text{V} \cap \text{B}\), et « la pièce est validée et défectueuse », noté \(\text{V} \cap \overline{\text{B}}\). D'ailleurs, on peut calculer toujours avec l'arbre : \(P\text{(V} \cap \overline{\text{B}}) = 0{,}05 \times 0{,}10 = 0{,}005\).

Rayan : Oui, je vois, et on voit aussi qu'une pièce validée est soit dans la partie verte soit dans la partie orange, mais ne peut pas être dans les deux en même temps.

Lina : Alors, on pourrait récupérer la probabilité de l'événement \(\text{V}\) dans sa totalité ! \(P(\text{V}) = P(\text{V} \cap \text{B})+ P(\text{V}\cap \overline{\text{B}}) =0{,}931 + 0{,}005 = 0{,}936\).

Rayan : Alors, Lina, avant que ça sonne, essayons d'arriver au bout du calcul et savoir quelle est la probabilité qu'une pièce soit bonne sachant qu'elle a été validée.

Question À partir des résultats des calculs précédents, déterminer la probabilité demandée par Rayan. Comment peut faire une entreprise pour augmenter cette probabilité ?